中１数学
〈方程式の利用〉【追いつく問題】の教科書内容の比較から見えてくるもの
方程式の利用の単元の【追いつく問題】の教科書記述内容の比較について以下で触れてみようと思う。
問題の表現の仕方の違いから出題の意図及び生徒に何を考えさせたいかの微妙な違いに気づくと思われるからである。
比較するのは教育出版『改訂中学教科書・教師指導書』(残念ながら出版年度は書いていない。おそらく２０年以上前であると思われる。)と啓林館『未来へひろがる数学１』(令和３年度用)の２冊である。
◆まず教育出版のほうから見ていく。
教科書P.８９(指導書P.１３９)
〈例３〉Aが学校を出発して４分後に、BがAを追って学校を出発した。Aの歩く速さは、毎分７０ｍで、Bの歩く速さは、毎分９０ｍである。Bは何分後にＡに追いつくか。
〈考え方〉Bが学校を出発してからｘ分後にＡに追いつくことにする。
図省略
ＢがＡに追いつくということは、学校から歩いた二人の距離が等しいことである。それぞれのかかった時間は、
Ａは(ｘ+４)分、Ｂはｘ分
したがって、Ａの歩いた距離は、７０(ｘ+４)ｍ
Ｂの歩いた距離は、９０ｘｍ
よって、７０(ｘ+４)＝９０ｘ
ｘ＝１４
答 １４分で追いつく
◆次に啓林館の教科書を見ていく。
教科書Ｐ．１０４
〈例題３〉弟が２ｋｍ離れた駅に向かって家を出発しました。
それから１０分たって、姉が弟の忘れ物に気づき、
自転車で同じ道を追いかけました。
弟は分速８０ｍ、姉は分速２４０ｍで進むものとすると、
姉は出発してから何分後に弟に追いつきますか。
〈考え方〉
姉が出発してからｘ分後に追いつくとすると、
２４０ｘ＝８０(１０+ｘ)
両辺８０で割って
3ｘ＝１０+ｘ
２ｘ＝１０
ｘ＝５
この解は問題にあっている。
答 ５分後に追いつく
さらにこの問題にはさらに、次の問題が続く。
〈問４〉前ページの例題３で、
雨が降りそうだったので、弟が出発してから２０分後に、
兄がかさを持って、同じ道を分速２８０ｍで追いかけました。
弟が駅に着くまでに、兄は弟に追いつくことができますか。
〈考え方〉
先ほどの例題３と同じようにｘ分後に追いつくとするとして方程式を立ててみる。
２８０ｘ＝８０(２０+ｘ)
両辺を１０で割って
２８ｘ＝８(２０+ｘ)
さらに両辺を４で割って
７ｘ＝２(２０+ｘ)
７ｘ＝.４０+２ｘ
７ｘ―２ｘ＝４０
５ｘ＝４０
ｘ＝８
たしかに８分後には追いつくことになるが、
８分後の距離は、家から２８０×８(左辺のｘに８を代入した値)もしくは
８０×(２０+８)〈右辺のｘに８を代入した値〉となり、家から２２４０ｍのところになる。ところが、最初の問題に示されたように、弟の目標の駅は２ｋｍすなわち２０００ｍのところにあり、この駅までの間には追いつかないのである。
よって、兄は弟に追いつくことができないのである。
◆以上で２０年以上も前と今の教科書を比較してみた。
本質的には【追いつく問題】として共通のものとして考えられるが、前者はＡの目標地点が記載されていないのに対して、後者は弟の目標地点の距離が事前に示されている。
更に後者は、上述したように問４を付け加えることによって、２ｋｍというある意味では距離に関する変域ともいえる距離の上限を設けていることにより、解の吟味を生徒により意図的に具体的に行わせ、検証させているのである。
方程式を使って問題を解く手順の最後において、方程式の解が問題にあっているかどうか調べて書くということは、教科書に以前より記載されていたが、傾向的には、中３の２次方程式の利用において、この解の吟味の必要性がより強調されるようであり、中１・２においてはややお題目的になっていたことからみれば、この中１の教科書の問題の時代の差による表現の違い、なかんずく今の教科書の在り方は数学教育的に見て画期的なこととも見ることができる。
しかし、中１の生徒にとって、速さ・時間・道のりの問題における【追いつく問題】は、やや複雑にみえてしまう傾向があるかもしれない。
その意味で、初めから、現在の教科書の問４のような解の吟味の問題に触れる前に、かなり以前の教育出版の指導書に載っていた、前者の目標の地点が省かれている単純な問題の練習を十分行ってから、後者の現在の教科書の問４のような問題をやらせてから、解の吟味の項目に入ってみるのも、中１の生徒の理解度を十分考慮に入れるという観点からは一つの手なのかもしれない。