★中学数学【確率の問題】
確率の問題は、「起こり得るすべて場合の数」と「そのことが起こる場合の数」をもれなく重なりなく、きちんと数えあげることが案外近道になる場合がある。
もちろん、中学における数学的確率としては「同様に確からしい」ということが前提になっている。
具体的に考えず、面倒くさがって、いちいち数えあげないで何となく頭の中でどういうことなのかを大雑把にとらえようとしても、なかなか整理がつかなくなりやすい傾向もある。
(もっとも中学の問題だとしたらコンピュ―タを使えば簡単に瞬時に求まり、数え間違いということはないのであるが…。それは、自分で問題を解く上では別問題である。)
そこで、ここでは【サイコロと整数】の問題として以下でごく基本的なものを見てみることにする。
[問題]
サイコロを３回振って出る目の数を順にa,b,cとするとき、次の確率を求めよ。
(１) ｃ／a+ｂ ＝ １となる確率
(２) ｃ／a+ｂが整数となる確率 (開成高)
(１)の【説明】と【解答】
a,b,cのすべての出方は、６×６×６＝２１６通りである。
ｃ＝２，３，４，５，６のそれぞれについて当てはまる適する場合の数を順次調べていくことにする。
(なぜ、cは１にならないかといえば、この式すなわちｃ＝１を満たすようなサイコロの目のaとｂは存在しないからである。)
ｃ＝２のとき、(a ,b)＝(１,１)
ｃ＝３のとき、(a, b)＝(２,１),(１,２)
ｃ＝４のとき、(a, b)＝(３,１),(２,２),(１,３)
ｃ＝５のとき、(a, b)＝(４,１),(３,２),(２,３),(１,４)
ｃ＝6のとき、(a, b)＝(５,１),(４,２),(３,３),(２,４),(１,５)
以上が、ｃ／a+b＝１を満たすすべての場合である。
したがって、数えあげると１５通りなので、 その確率は１５／２１６＝５／７２
(２)の【説明】と【解答】
c／a+ｂの値が１以外の整数になるケースを考える。
(１)の他に、c＝４のとき (a, b)＝(１,１), c＝６のとき (a, b)＝(１,１),(１,２),(２,１)の４通りが考えられる。
したがって、ｃ／a+b が整数となるすべての場合の数＝１５+４＝１９通りである。(※さっきの(１)の場合の１５通りを利用し、それに今出した４通りを足すのである。)
よって、求める確率は１５+４／２１６＝１９／２１６
(引用文献)『高校入試 数学解法３０００題 頻出度順』監修 埼玉大名誉教授 梅澤敏夫
旺文社 初版発行 １９８７年 ２月２０日 Ｐ．３９２
※なお、引用部は[問題]のところの部分だけであり、【説明】と【解答】は、筆者による。
